El tiempo total de vuelo de la pelota es de 2.89 segundos
Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.
Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la pelota
La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (22 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (40^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{44\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.642787609687 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{44\ \ . \ 0.642787609687 }{9.8 \ } \ segundos }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{28.282654826228 }{9.8 \ } \ segundos }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =2.88598515\ segundos }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t _{v} =2.89 \ segundos }}[/tex]
El tiempo de vuelo del proyectil es de 2.89 segundos
Aunque el enunciado no lo pida:
Hallamos la altura máxima que alcanza la pelota
La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(22 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (40^o) }{2 \ . \ 9.8\ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{484\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.642787609687)^{2} }{19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{484 \ . \ 0.4131759111671271 }{ 19.6\ } \ metros }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 199.9771410048895164 }{ 19.6 } \ metros }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} = 10.2029153\ metros }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =10.2\ metros }}[/tex]
La altura máxima que alcanza el proyectil es de 10.2 metros
Determinamos el alcance de la pelota
La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 22 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 40^o ) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 484 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (80^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 484 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.984807753012 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 484 \ . \ 0.984807753012 }{ 9.8 } \ metros }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{476.646952457808 }{ 9.8 } \ metros }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =48.6374441\ metros }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} = 48.64 \ metros }}[/tex]
El alcance máximo del proyectil es de 48.64 metros
Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento
