Respuesta:
Para que el costo sea mínimo, el cilindro tiene que tener 4,82 metros de altura y 1,81 metros de radio.
Explicación:
Si el costo de construir el área lateral y la base es de 120 dólares por metro cuadrado, el costo de la semiesfera es de 240 dólares por metro cuadrado. El costo de construir el contenedor es:
\begin{gathered}C=120(\pi.r^2+2\pi.r.h)+240.2\pi.r^2\\\\C=600\pi.r^2+240\pi.rh\end{gathered}C=120(π.r2+2π.r.h)+240.2π.r2C=600π.r2+240π.rh
Y el volumen del contenedor es:
\begin{gathered}V=\pi.r^2.h+\frac{2}{3}\pi.r^3\\\\h=\frac{V-\frac{2}{3}\pi.r^3}{\pi.r^2}\end{gathered}V=π.r2.h+32π.r3h=π.r2V−32π.r3
Reemplazando la expresión de la altura en la del costo queda:
\begin{gathered}C=600\pi.r^2+240\pi.r.\frac{V-\frac{2}{3}\pi.r^3}{\pi.r^2}\\\\C=600\pi.r^2+240\frac{V-\frac{2}{3}\pi.r^3}{r}\\\\C=\frac{600\pi.r^3+240V-160\pi.r^3}{r}=\frac{440\pi.r^3+240V}{r}\end{gathered}C=600π.r2+240π.r.π.r2V−32π.r3C=600π.r2+240rV−32π.r3C=r600π.r3+240V−160π.r3=r440π.r3+240V
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