Respuesta :
El vector perpendicular a BA y BD con módulo de 20u es
[tex]\bold{\overrightarrow{p}~=~7.4i~+~18.5j~+~1.9k}[/tex]
La opción correcta es la c).
Explicación paso a paso:
El vector perpendicular a BA y BD se obtiene por medio del producto cruz o producto vectorial de los vectores que forman esos lados.
Los vectores se obtienen por la diferencia entre los puntos finales y los puntos iniciales.
[tex]\bold{\overrightarrow{BA}~=~(10~-~10)i~+~(2~-~0)j~+~(5~-~25)k~=~2j~-~20k}[/tex]
[tex]\bold{\overrightarrow{BD}~=~(-10~-~10)i~+~(10~-~0)j~+~(5~-~25)k~=~-20i~+~10j~-~20k}[/tex]
Ahora resolvemos el producto vectorial
[tex]\bold{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BD}~=~\left|\begin{array}{ccc}i&0&-20\\j&2&10\\k&-20&-20\end{array}\right|\qquad\Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BD}=[(2)(-20)i+(-20)(-20)j+0]-[(-20)(10)i+0+(-20)(2)k]~\Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BD}~=~160i~+~400j~+~40k}[/tex]
El módulo del vector resultante se calcula por la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes
[tex]\bold{||\overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BD}||~=~\sqrt{(160)^{2}~+~(400)^{2}~+~(40)^{2}}~=~120\cdot\sqrt{13}}[/tex]
El vector unitario es un vector cuyo módulo es igual a uno y resulta de dividir las componentes del vector entre su módulo.
[tex]\bold{\overrightarrow{u}~=~\dfrac{160}{120\cdot\sqrt{13}}i~+~\dfrac{400}{120\cdot\sqrt{13}}j~+~\dfrac{40k}{120\cdot\sqrt{13}}\qquad\Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{\overrightarrow{u}~=~\dfrac{4\cdot\sqrt{13}}{39}i~+~\dfrac{10\cdot\sqrt{13}}{39}j~+~\dfrac{\sqrt{13}}{39}k}[/tex]
Ahora bien, se quiere un vector con módulo 20 u, es decir, 20 veces el vector unitario; por tanto, vamos a multiplicar por 20 dicho vector.
[tex]\bold{20\times\overrightarrow{u}~=~\overrightarrow{p}~=~\dfrac{80\cdot\sqrt{13}}{39}i~+~\dfrac{200\cdot\sqrt{13}}{39}j~+~\dfrac{20\cdot\sqrt{13}}{39}k\qquad\Rightarrow}[/tex]
El vector perpendicular a BA y BD con módulo de 20u es
[tex]\bold{\overrightarrow{p}~=~7.4i~+~18.5j~+~1.9k}[/tex]
La opción correcta es la c).