Respuesta:
CD = 12
Explicación paso a paso:
Tema: Propiedades de las razones trigonométricas.
Recordemos lo siguiente.
[tex]\large{\underline{\textsc{Propiedades de las R.T.}}\\[/tex] Nos sirven para poder facilitar la resolución de ángulos agudos, las propiedades de las R.T. solo son dos las cuales son:
- Razones trigonométricas recíprocas.
- Razones trigonométricas complementarias.
[tex]\textsc{Razones trigonom\'etricas rec\'iprocas:}[/tex] Nos quiere decir que al multiplicar razones trigonométricas recíprocas que tengan mismo ángulo su resultado siempre será uno.
- [tex]\text{Seno}\alpha\: \times \text{Csc}\alpha =1[/tex]
- [tex]\text{Cos}\alpha\: \times \text{Sec}\alpha =1[/tex]
- [tex]\text{Tg}\alpha\: \times \text{Ctg}\alpha =1[/tex]
[tex]\textsc{Razones trigonom\'etricas complementarias:}[/tex] Nos quiere decir que al igualar razones trigonométricas complementarias sus ángulos deben sumar 90°.
- [tex]\text{Sen}\alpha =\text{Cos}\beta \longrightarrow \alpha +\beta =90[/tex]
- [tex]\text{Tg}\alpha =\text{Ctg}\beta \longrightarrow \alpha +\beta =90[/tex]
- [tex]\text{Sec}\alpha =\text{Csc}\beta \longrightarrow\alpha +\beta =90[/tex]
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[tex]\textsc{Resolviendo el ejercicio}[/tex]
→ Siendo Sec(α + 20°) = Csc(Ф + 33°), además BD = 20, halle CD.
En este ejercicio usaremos solamente las razones trigonométricas complementarias.
Sabemos que Sec y Csc son R.T. complementarias además que se están igualando por lo que, sus ángulos deben sumar 90°.
Sec(α + 20°) = Csc(Ф + 33°) [tex]\longrightarrow \text{Sumando los \'angulos a 90}[/tex]
α + 20° + Ф + 33° = 90° [tex]\longrightarrow \text{Resolvemos}[/tex]
α + Ф + 53° = 90° [tex]\longrightarrow[/tex] α + Ф = 37°
En el triángulo ADB están los ángulos Ф y α y recordemos que interno más interno me da el ángulo externo por lo que ∡ DBC es 37° y concluyo que es un triángulo de 37° y 53°.
Por dato del problema nos dice que BD = 20 que está al frente del ángulo de 90°, reemplazando mediante el triángulo de 37° y 53°.
20 = 5k [tex]\longrightarrow[/tex] 4 = k
Ya hallamos el valor de "k" gracias a eso podemos hallar la medida de CD.
CD sería 3k porque está al frente de 37°.
3k ⇒ 3(4) = 12.
CD = 12(Clave e).
