Hola, aquí va la respuesta
Integración de las funciones de movimiento
Veamos un poco de teoría
Supongamos que nos dan una función aceleración
[tex]a(t)= a[/tex]
Puede también ser un polinomio
Para saber la función velocidad, debemos integrar
[tex]\int\ [a(t) ]dt= \int(a)dt[/tex]
[tex]V(t)= at+ A[/tex]
Donde:
A es una constante
Si obtenemos algún dato extra, como por ej: la velocidad en un tiempo determinado, podremos reemplazar y despejar esa constante
Si queremos ahora la función posición, debemos integrar la función velocidad
[tex]\int\[V(t) ]dt= \int\ (at+A)dt[/tex]
[tex]X(t)= \frac{at^{2} }{2} +At + B[/tex]
Donde:
B: es una constante
De modo similar, si tenemos un dato de la posición, podremos calcular el valor de "B"
Adjunto algunas propiedades de las integrales indefinidas (hecho por el canal "el traductor de ingeniería")
Ahora vamos al ejercicio
[tex]V(t)= t(t^{2} +1)^{4}[/tex]
Vamos a integrar
[tex]\int [V(t) ]dt= \int[t(t^{2}+1)^{4}]dt[/tex]
Sea u= t²+1
Aplicaremos integración por sustitución
- [tex]\int\ f[g(x) ] *g'(x) dx= \int f(u)du[/tex]
[tex](t^{2}+1)'= 2t[/tex]
⇒ [tex]du= 2t*dt[/tex]
[tex]\frac{1}{2t} du=dt[/tex]
Reemplazando:
[tex]\int t(u^{4})\frac{1}{2t} du[/tex]
Podemos simplificar
[tex]\int(\frac{u^{4} }{2} )du[/tex]
Sacamos la constante 1/2 afuera y aplicamos una de la propiedades
[tex]\frac{1}{2} *\frac{u^{4+1} }{4+1}[/tex]
[tex]\frac{1}{2} *\frac{(t^{2}+1)^{5} }{5}[/tex]
[tex]\frac{1}{10} (t^{2} +1)^{5} + C[/tex]
[tex]S(t)= \frac{1}{10} (t^{2} +1)^{5} +C[/tex]
Donde:
C: es la constante
El dato que tenemos en el inciso "b" es que cuando t= 0, la posición en S(t=0)= 1, por lo tanto:
[tex]S(0)=\frac{1}{10} (0+1)^{5} +C[/tex]
[tex]1= \frac{1}{10} +C[/tex]
[tex]\frac{9}{10} =C[/tex]
Respuestas:
A) La función posición es:
[tex]S(t)= \frac{1}{10} (t^{2} +1)^{5} +\frac{9}{10}[/tex]
B) La constante "C" de integración es:
[tex]C= \frac{9}{10}[/tex]
Te dejo un ejercicio similar
- https://brainly.lat/tarea/34307156
Saludoss
