Respuesta:
Los ingresos se calculan multiplicando el precio por el número de ejemplares vendidos. L = 20 × 10 000, donde L es el ingreso.
Si x representa el número de dólares en que se incrementa el precio de cada ejemplar, entonces 20 + x es el nuevo precio del libro y 10 000 – 4000 x es el nuevo número de ejemplares vendidos. La función que representa el ingreso en términos del número de dólares en que se aumenta el precio del libro es:
L (x) = (20 + x)(10 000 – 400x).
Esta función L(x) recibe el nombre de función objetivo porque es la función que se requiere optimizar. La derivada de la función L(x) es:
L´(x) = (1)(10 000 – 400x) – 400(20 + x),
L´(x) = 10 000 – 400x – 8 000 – 400 x,
L´(x) = –8 00x + 2 000,
L´(x) = 0 ⇒ 800 x = 2 000, x = 2000 / 800; x =2,5
Recordemos que x representa el número de dólares en que se debe incrementar el precio del libro para obtener el ingreso máximo. De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $2,5, se obtiene el ingreso máximo. Para calcular el ingreso máximo se sustituye x en la función L(x).
L (2,5) = (20 + 2,5) [10 000 – 400(2,5)]
L (2,5) = (22,5) [10 000 – (1 000)
L (2,5) = $202.500,00
Este valor representa el máximo ingreso.
